Ernst Nagel – Le théorème de Gödel

Ernst Nagel, James R. Newman, Kurt Gödel et Jean-Yves Girard

C’est un petit livre d’à peine 170 pages, publié comme livre de poche. Malgré son format, poche, ce petit livre est considéré comme un « doit en avoir » (« must have ») par les mathématiciens de profession : s’ils ne l’ont pas, ils l’ont probablement déjà lu.

Mais, c’est quoi ce théorème ? Ce théorème dit qu’à l’intérieur d’une théorie mathématique (nombres entiers, réels, géométrie…) il y a des énoncés qui sont « indécidables », c’est-à-dire, que l’on ne peut prouver ni qu’ils sont vrais, ni qu’ils sont faux. Peut-être juste prouver que l’on ne peut rien prouver : donc, indécidables. A ne pas confondre avec des postulats ou axiomes, qui ne se prouvent pas, mais qui sont des hypothèses de base des théories mathématiques. À ne pas confondre non plus avec des conjectures, p. ex., le fameux théorème de Fermat, des énoncés dont on ne sait pas si sont vraies ou pas, mais qui parfois mettent des siècles pour être démontrées.

Ce thème se situe entre les mathématiques pures, la philosophie et la logique mathématique.

Mais revenons au livre. Il y a trois parties :

1. Ernst Nagel et James Newman – La démonstration de Gôdel
2. Kurt Gôdel – Sur les propositions formellement indécidables des « Principia Mathematica » et des systèmes apparentés.
3. Jean-Yves Girard – Le champ du signe ou la faillite du réductionnisme.

La version originale de ce théorème est dans la deuxième partie. La première contient une version plus digeste de la démonstration. Il n’est pas rare que la lecture des versions originales de nouvelles théories soient asses indigestes. La troisième partie est la plus intéressante, puisqu’elle parle du contexte et des conséquences de ce théorème.

En fait, tout commence par David Hilbert, un des plus grands mathématiciens do XXème siècle. Hilbert était un rigoriste et proposait un programme dans lequel tout énoncé mathématique devrait être prouvé. Gôdel a démontré que cela était pas possible.

Finalement, le théorème de Gödel est un résultat intéressant, mais qui intéresse plus ceux qui font des mathématiques pures et moins ceux qui font des mathématiques appliquées ou sciences de la nature (physique, chimie…).

Livre intéressant pour ceux qui aiment les sciences, mais de lecture ardue pour ceux qui n’ont pas des bases en mathématiques.

Citations

Quatrième de couverture

Par sa profonde originalité et sa supposée complexité, le théorème de Gödel a acquis un statut mythique.

Énoncé en 1931, ce théorème d’« incomplétude » a bouleversé la question du fondement des mathématiques. Si sa portée méthodologique et philosophique est considérable, ses difficultés techniques ont été très surestimées.

Pour prendre en compte ces deux aspects, le présent ouvrage rassemble la traduction de l’article original de K. Gödel, une version vulgarisée de sa démonstration par E. Nagel et J. R. Newman, et un essai du logicien J-Y. Girard qui fait le point sur les problèmes d’interprétation de ce célèbre théorème.

Kurt Gödel (1906-1978)

« Le plus grand logicien depuis Aristote » (selon von Neumann) est né à Brno, alors autrichienne, et a émigré aux États-Unis en 1940. Ses principales contributions concernent la logique et les fondements des mathématiques.