James Gleick – La théorie du chaos

Connaissez-vous la phrase « Un battement d’aile d’un papillon peut provoquer une tornade au Texas ? » (ou une de ses nombreuses versions) ?. L’auteur de cette phrase est Edward Lorenz et fait référence à un domaine des mathématiques, le Chaos Déterministe.

Je donne deux exemples de systèmes où cette forme de chaos apparaît.

On étudie que les planètes du système solaire exécutent une orbite elliptique autour du soleil décrite par des équations mathématiques dites équations différentielles linéaires ayant des solutions analytiques simples. En fait, ceci ne serait vrai que si le système solaire n’avait que deux éléments : la terre et le soleil. L’interaction (attraction gravitationnelle) entre plusieurs planètes fait que les équations ne sont pas si simples. C’est un problème qui a été beaucoup étudié par Henri Poincaré (le frère du président) au début du XXème siècle, avec le nom « problème des trois corps ». Les forces sont faibles et les distances énormes. Ainsi, si on regardait l’orbite des planètes sur une durée de plusieurs centaines de millions d’années, on aurait l’impression qu’il s’agirait de quelque chose de chaotique. Et pourtant, c’est parfaitement décrit mathématiquement, d’où le mot « déterministe ».

Il y a trois points à retenir de cette histoire. Si on observe l’état d’une planète (position, vitesse, direction, accélération…) à un instant donné, on sait que cette planète ne se retrouvera plus jamais dans ce même état. Si on considère maintenant un tout petit écart dans l’état, à cet instant, l’état à un instant bien plus loin sera complètement différent : c’est ce qu’on appelle une « sensibilité aux conditions initiales » (je reviendrai). Le système est défini, par des équations différentielles non linéaires, qui n’ont pas de solution analytique.

Les systèmes chaotiques sont partout dans la nature. La plupart du temps ces systèmes avec des contraintes qui permettent de les simplifier et de les étudier comme s’ils n’étaient pas chaotiques. Le système solaire en est un, si on se limite à étudier son évolution sur des temps limités à quelques années ou milliers d’années.

Edward Lorenz était un météorologue. Dans les années 1960, il était en train de faire tourner des simulations pour un programme de prévision. Il a dû arrêter la simulation pour la reprendre plus tard. Il a dont pris note des résultats numériques intermédiaires pour reprendre plus tard la simulation. Pour cela, il a pris note de l’état de la simulation au moment de l’arrêt puis il a utilisé ces annotations comme des valeurs de départ pour la suite de la simulation. Il a donc remarqué que le résultat final était très différent de celui qui aurait dû être si la simulation était allée jusqu’au bout. La cause était qu’il est parti de l’état de la simulation tel qu’imprimé au moment de l’arrêt. Ces valeurs étaient légèrement différentes des valeurs stockées à l’intérieur de l’ordinateur, même si cet écart semblait négligeable. C’est ce qui a été à l’origine de la phrase sur le papillon.

James Gleick est un journaliste, mais il présente avec perfection et exhaustivité ce que c’est le domaine du Chaos Déterministe. Beaucoup d’aspects dont je n’ai pas parlé ci-dessus, tel le lien avec les fractales de Mandelbrot. C’est un livre qui se lit comme un roman. Pas besoin de connaissances mathématiques approfondies, mais ceux qui ont déjà une bonne base se retrouveront facilement.

J’ai une formation scientifique matheuse, mais j’ai l’habitude, quand je m’intéresse à un domaine nouveau, de commencer par un texte de vulgarisation qui me donne, avec peu d’effort, une vision d’ensemble. Ce livre est parfait pour ça. On reste encore à la surface du sujet, mais ce livre balaye l’ensemble des points importants de la théorie du Chaos.

Je recommande ce livre à tous ceux curieux de comprendre la nature.

Citations

Quatrième de couverture

Turbulences, fluctuations, oscillations aléatoires, phénomènes complexes non maîtrisables : une population animale, l’écoulement d’un fluide, un organe biologique, un faisceau de particules, un orage atmosphérique, une économie nationale, autant de systèmes instables qu’on classait sous l’appellation commode de  » chaos «  avant que quelques scientifiques français et américains ne commencent à explorer le sujet dans les années 1970. A la surprise générale, le chaos s’est révélé gouverné par un ordre dynamique qui a permis d’expliquer bien des phénomènes naturels jusqu’ici totalement incompréhensibles.

La théorie du chaos, dont ce livre vulgarise brillamment les divers aspects, a ouvert de nouvelles portes à la science depuis son éclosion ; elle a bouleversé la vision classique du monde et constitué une révolution comparable à ce que fut, au début du XXe siècle, la théorie de la relativité générale d’Einstein.