Jeremy Gray – Worlds of Nothing

Ce livre traite de l’histoire de la Géométrie au cours du XIX siècle. Il y a une partie dédiée à la Géométrie Descriptive, créée par Gaspard Monge à l’École Polytechnique, la Géométrie Projective ou la Géométrie Différentielle. Mais ce sont des parties mineures. Le gros est dédié aux Géométries non Euclidiennes. Parlons de cela.

On a tous appris dans les cours de Géométrie à l’école que toute la discipline était fondée sur les cinq postulats d’Euclide, des notions qui n’ont pas besoin d’être démontrées et sont considérées comme vraies. Donc, des mathématiciens de l’époque ont voulu démontrer le cinquième postulat, à partir des quatre autres, celui qui dit :

On donne une droite et un point en dehors de la droite. Par ce point il n’est possible de tracer une seule droite parallèle à la première.

N’arrivant pas à le prouver, la question toute naturelle était : et c’est faux ? Du coup, ils ont réussi à imaginer deux autres possibilités où il n’y a aucune parallèle ou qu’il y a un nombre infini. Donc, avec les quatre premiers postulats et ces versions alternatives du cinquième, on peut créer des théories (systèmes) complets, mais souvent différents de la géométrie euclidienne. La première différence qui saute aux yeux est que la somme des angles d’un triangle, dans ces géométries, ne ferait plus 180 degrés.

Dans le premier cas, l’espace pourrait ressembler à la superficie d’une sphère : la planète Terre, par exemple. Imaginez un triangle dont deux sommets se situent dans l’équateur et le troisième au pôle Nord. Les angles des deux sommets sur l’équateur font déjà 90 degrés chacun. Dans le deuxième cas, l’espace pourrait ressembler à la surface d’une selle à cheval. Et dans ce cas, la somme des angles d’un triangle serait inférieure à 180 degrés.

Quelques mathématiciens qui ont travaillé sur ces sujets : Bolyai, Lobatchevski, Riemann, Poincaré, Hilbert, Gauss, Legendre…

S’ensuit une discussion sur la signification et l’utilisation en physique. On parle alors d’Einstein et la Géométrie de Minkowski, avec l’ajout d’une quatrième dimension : le temps. Ou alors en astrophysique, les trous noirs…

Le livre se termine avec une discussion plutôt philosophique des sciences : qu’est-ce que la géométrie, est-ce de la vraie science, la géométrie euclidienne est-elle un cas particulier de toutes ces géométries ?

Cet ouvrage est un livre texte d’un cours universitaire destiné à des mathématiciens et à des historiens des sciences. Le contenu reste accessible à des lecteurs qui ont une base en mathématiques.

C’est un livre passionnant pour ceux qui, comme moi, ont une formation matheuse. Le point négatif est qu’il manque, dans les explications plutôt mathématiques, des dessins pour que l’on puisse comprendre rapidement de quoi on parle. Ça fini par devenir lassant. Difficile à suivre un texte en géométrie sans les dessins des figures.

Citations

Quatrième de couverture

S’appuyant sur les recherches historiques les plus récentes, *Worlds Out of Nothing* est le premier ouvrage à proposer un cours d’histoire de la géométrie au XIXe siècle. La première partie aborde la géométrie projective, notamment le concept de dualité, et la géométrie non euclidienne. L’ouvrage se poursuit avec l’étude des points singuliers des courbes algébriques (équations de Plücker) et leur rôle dans la résolution d’un paradoxe de la théorie de la dualité ; les travaux de Riemann sur la géométrie différentielle ; et le rôle de Beltrami dans l’établissement de la géométrie non euclidienne comme discipline mathématique rigoureuse. La dernière partie examine l’essor de la géométrie projective et explore les idées de Poincaré sur la géométrie non euclidienne, ainsi que leur portée physique et philosophique.

Trois chapitres sont consacrés à la rédaction et à l’évaluation de travaux en histoire des mathématiques, avec des exemples de questions, des conseils pour la rédaction de dissertations et des indications sur les critères d’évaluation des enseignants.